消失的弹孔

统计研究小组是二战时期美国的一个秘密计划，跟曼哈顿计划一样，只不过他们研究的不是弹药，而是各种方程式。

这个小组里集合了美国最顶尖的数学家，想通过各种数据，制定最合适的战争策略。

举个例子，我们不希望自己的飞机被敌军击落，因此我们要跟飞机外层造盔甲，但是如果盔甲过重，又会影响飞机的机动性。

防御不足是个问题，但过于看重防御又会导致灵活性不足，如何在这两者之间做一个最优解呢？

当时，军方提供了各种相关或者不相关的数据，数学家们就要通过这些数据来得出结论。

比如说下面这个数据就是美国军方提供的，不同的飞机部位留有的弹孔的数量不一样。

图片来自《魔鬼数学》

美国军方认为如果要加盔甲，那么盔甲应该加载飞机受攻击概率最高的地方。

可小组中的数学天才瓦尔德却提出了一个完全不同的答案。

他认为盔甲应该加在没有弹孔的地方，也就是飞机的引擎。

为什么瓦尔德这样想呢？

瓦尔德这样推测：

飞机各个部位受到攻击的可能性是均等的，为什么在引擎上留有的弹孔数量却远远少于其他的部位呢？消失的弹孔又到哪里去了呢？

他猜测这些消失的弹孔都在未能返航的飞机上。

也就是说大量的飞机在机身被打的千疮百孔的时候仍然能够返航，可一旦引擎，受损飞机可能就回不来了。

类似的，在医院病房里，腿部受伤的病人比胸部重担的病人要多得多。

这显然不是因为腿部更容易中弹，而是因为胸部中弹的人都死了。

瓦尔德认为，如果要给飞机装上盔甲的话，那么这个盔甲一定是装在引擎的部位。

美军采用了瓦尔德的建议。

我们很难说瓦尔德究竟挽救了多少美军战机，但是根据美国国防部的研究发现，如果飞机被击落的概率比敌军少5%，耗油的概率少5%，步兵供给多5%，成本比对方低5%，往往就会成为胜利方。

克劳塞维斯说过，数学就是常识的衍生物。

我们并不需要高深的数学知识就能理解瓦尔德的独到之处，但是这种科学的思考问题的方式，让人从纷繁复杂的事物中找到本质的能力，就是数学思维。

数学思维有什么用？

1，迅速洞察本质

丹尼尔卡尼曼在《思考，快与慢》这本书里面提到，我们的大脑总是依靠直觉来做决定，而直觉常常是错误的。

我们可能买基金亏钱，在没有发展的行业浪费了宝贵时间，或者与不合适的人结婚，进退两难。

拥有数学师思维最大的优势，就是可以让我们更清楚的看清这个世界，从而做出更好的选择。

2，建立正确的选择策略

经济学家薛兆丰在《奇葩说》里面有一段言论被人讨论的特别多：如果两个人是而彼此的唯一的话，他们这辈子是不会见面的。

这是一个简单的概率问题，在70亿绿豆当中放上两个红豆，不断的去搅拌它们，就算花上一身的时间，这两个红豆也无法相遇。

所谓的命中注定这件事并不存在。

有些人在漫长的寻找中蹉跎了岁月，而理解了概率的人知道，更好的策略是在我们能力范围之内找到那个他，并努力成长为自己想要的样子。

如何利用数学思维：

1，概率论：重要的事情重复做

我们来看一看著名的墨菲定律：

凡是可能出错的事就一定会出错。

听起来特别让人气馁，不过，这实际上是一个概率问题：不管概率有多小，只要时间够长，事件总会发生。

比如，何书元编著的《概率论》中，有一道关于青瓷花瓶的题：

明永乐年间的青花如意垂肩折枝花果纹梅瓶非常值钱（1.6866亿港元），我们假设一只青瓷花瓶在一年内被失手打破的概率是3%。

 

如果明朝正德年间生产了一万只青花瓶，请问现在还剩多少个？

计算方法如下：

a 计算一只青花瓶500年保持完好的概率：

P = （1-0.03）的500次方

答案预计是2.43乘以10的负7次方。

b 计算1万只花瓶保持完好的概率：

0.00243

什么意思？

就是说我们还能见到该花瓶的概率是千分之2.43，不到一个。

我们把这个过程称为“概率的复利”。

在李笑来的《财富自由之路》中，一开始就提到了人生复利曲线，说我们要做时间的朋友。

我们来看看复利该怎么用呢？

我们把事件分为三种：

线性，上凸下凹的曲线，上凹下凸的曲线。

线性很简单，比如做公务员，一个月赚5000，一年赚6万。

 

上凹下凸的曲线，指的是上行收益有限，下行损失无限的事。

今日头条的张一鸣发过一条朋友圈：准备把同事的平衡车给没收了，工程师骑平衡车通勤简直是置公司重要资产于风险之中。

平衡车就是上凹下凸的曲线的典型，骑上去的时候，速度快，又方便，感觉很爽，然后好处就这些了，剩下的就是一旦出事，付出的代价就是无法承受的。

 

上凸下凹曲线，就是《反脆弱》这本书里面提到的，下行损失有限，上行收益无上限的事。

我们下班读书，业余的时间写作，就是这样，我们损失的就是闲暇的时间，然后获得的收益是无上限的。

当年蔡崇信放弃了580万年薪，加入阿里跟马云一起创业，一个月拿500块。

这怎么理解呢？

蔡崇信这样说，我有耶鲁法学院的学位，在商界和政界都是稀缺的。说到底，我去阿里巴巴干半年，公司不行了，我还可以回去干税务律师或者做投资。

也就是，这件事虽然一开始看起来是亏的，但亏的不多，而一旦公司启动，上行收益却是没有上限的。

这样的事情，就是时间的朋友，虽然单个事件看起来概率非常小，但随着时间积累，成功的概率会越来越大。

知道了概率，我们就明白了，有些事可以做，有些事不能做，而重要的事情需要长期做。

2，微积分：用发展的眼光看待事物

我们第一次遇见微积分，应该就是高中学“加速度”的时候。

一个物体静止在水平面上，当你推它的时候，就会产生加速度，加速度积累起来就会变成速度，然后速度会从0开始越来越快。

微积分是一个从瞬间到连续的过程，事物平缓的变化着，如果把曲线看成一个一个的点，每一个瞬间看起来都是与上一个瞬间相连的，然而积累之后，却早已和原来差距十万八千里了。

其核心假设是：事物都在平缓地发生变化，任何事物都与其此前的一刻有着无限小的差异。

亚马逊的CEO问过巴菲特一个问题：你的投资理念非常简单，别人为什么不复制你的做法？

巴菲特回答：因为大多数人不愿意慢慢变富。

这是因为，我们此时此刻的生活，仿佛是微积分曲线中的一个点，我们只能看见离我们最近的那一个点，因此我们就会很着急，我们不愿意慢慢变富，不愿意一点点接近目标，而总想着要走捷径。

而理解了微积分的人，会明白发展的威力。

吴军老师说，不要太在乎你的第一份工作的薪水。

生涯规划师古典也说，年轻人入职前7年，不要太在意情感回报，而是要聚焦在能力的提升上。

这就是用发展的眼光来看待生活。

会用微积分思维的人，会自动的离问题远一些，不去盯着当时的瞬间，而是看见人生的曲线，从何处来又去向何方，你就能寻本溯源，找到问题真正的关键节点。

拾遗君曾经讲过一个高中同学的故事。

高中同学打算做个公众号，写了一段时间，没有进展，他以为是自己不懂爆文的原理，买了很多《如何写出10W+》，《从零开始做公众号月入10万》之类的课程。

坚持了几个月，效果还是不好。

他想着也许是自己营销能力不足，又开始学《营销入门》，结果折腾三年，公众号还是没起来。

如果不是那么着急，而是把时间拉长，其实很容易发现——真正的关节点在于公众号的质量。无论商品的包装如何漂亮，不好用就是不好用，同样的，不管文章的标题如何醒目，热点追得多么频繁，写的不好就是写的不好啊。

如果仅仅关注在一个点上，我们看到的全是细枝末节，拉长曲线，才能聚焦到真正的重点上。

3，几何学：搭建思维体系

在聊几何学之前，我想问问大家还记不记得“公理”和“定理”的区别呢？

比如著名的勾股定理，勾三股四玄五，这就是定理，因为它是由“公理”推出来的。

那么什么是“公理”呢？

公理就是公认的道理，只是一个假设，无法证实。

咱们学的几何学，叫做欧式几何。

欧式几何有5大公理：

三角形内角和180度

两点确定一条直线

两条平行线永不相交

所有直角都全等

任何线段，可以以其中一个断点为圆心，该线段为半径做一个圆。

根据这5个公理，我们可以推出一整个几何体系，而体系中各个定理一定逻辑自洽。

从虚无中创立大厦。

这就是真正的逻辑思维。

我们常常说一个人“不理智”，指的就是底层“公理”——价值观，互相矛盾。

很多人觉得价值观不重要，虚头巴脑的。

然而果真如此吗？

2001年的阿里正处于生死存亡之间，钱已经烧完，盈利还看不到，下一笔融资还不知道在哪里。

也是在这个时候，关明生走进了阿里。

大家都等着这位才子大展身手。

但关明生拉着马云干了件奇怪的事情：定价值观。

关明生问马云：你想要一个什么样的公司？

而马云居然很认真的开始想这个问题，拉着人一起讨论。

6个人花了7个小时，搞出了一个价值观雏形——独孤九剑。

很多人不看好，觉得公司最重要的是能赚钱，价值观能拉来业绩吗？

但马云对待价值观是认真的。

他根据价值观考核，宁可要一个价值观好，但能力欠缺的“小白兔”，也不要能力强，没有价值观的“野狗”。

甚至因为违反了价值观，他还开除了业绩最好的员工，马云是疯了吗？

关明生说：价值观是我们的DNA，管辖着我们的行为，能够产生凝聚力。

阿里发展至今，不得不说是因为坚定的价值观，产生了强大的作用力，员工们互相帮助，以自己是阿里人为傲。

作为个人也是一样，一个人的价值观，其实就是一个人的行为准则，高手的思维模式都是逻辑自洽的，而混乱的价值观必然导致混乱的人生。

4，代数：我们可以用毅力来预言成功吗？

上小学的时候，我们遇见了数，学会了数的加减乘除。

我们可以用简单的数来理解这个世界了。

比如，5大于3

那么我学习5个小时比学习3个小时学得更多。

是这样吗？

我们的世界远远比这个复杂。

学习的效果，不仅仅取决于学习的时长，还有目标是否明确，方法是否合理。

假设学习效果Y，和因素时长（A1），目标（A2），方法（A3）之间，有着线性关系。

就形成了最基本的线形代数。

Y = ｛A1，A2，A3｝

有了代数思维有什么好处呢？

我们不会再被虚假的因果关系忽悠了。

举个例子，有一个很著名的棉花糖实验：

实验者放一个棉花糖在桌子上，叫4岁的小孩子坐在桌边，告诉他们：

 

如果他们能坚持20分钟不吃，那么实验员会再奖励他们一颗。

如果他们吃掉棉花糖，就什么也得不到。

 

实验的初衷是为了研究孩子如何抵抗诱惑。

可是设计者无意在几年后发现，实验结果和孩子的学业表现高度相关。

在这之后，很多家长在重复这个实验，甚至有机构用实验来测试孩子的未来成就。

有了代数思维后，我们知道事物之间的关系是非常复杂的，有时候两者之间并非是线性关系，有时候就算有线性关系，也并非因果。

比如上面提到的棉花糖实验，研究员同时也发现，实验结果和家庭收入也成正相关。

什么意思呢？

也就是说家庭比较富裕的孩子在棉花糖实验中表现的更好。

这其中的因素就有很多。

比如我们可以假设家庭富裕的孩子，因为平时经常接触各种诱惑，所以对棉花糖抵抗力强。

实验结果因此有了不同的解读，是孩子有毅力，所以成绩好呢，还是因为孩子的家庭富裕，所以父母可以提供更多的资源，导致成绩好呢？

当然我并非说毅力不重要，而是很多家长，还有早教机构用类似方法来测试孩子，预言孩子未来的学业成就，这是件很傻的事情。

和小学时候学习的数不一样，代数并不说明结果，而只是在意事物之间的关系。

拥有代数思维的人不会简单的把两个事物因果相连。

错误的归因必然导致错误的结论。

5，博弈论：如何获得超额收益？

提起博弈论，可能你会想起著名的囚徒困境。

但是生活中的情况更复杂一些，比如，员工能不能共同施压，要求老板涨工资呢？

在这之前，我先给大家说一个新加坡大罢工的故事。

有一次，新加坡航空的机师闹起了罢工，要求涨薪30%。新加坡航空的航线瘫痪了，李光耀在讲话中愤怒得说：

新加坡是我一手建立起来的国家，只要我还在管理，就不允许任何人破坏它！给你一个小时想清楚，要么回去上班，要么走人，我可以明天就让新航恢复正常。

超级霸气！

最后的结果，自然是罢工的员工乖乖回去上班了。

为什么罢工并不能涨工资呢？

因为工资其实是各个公司的老板和员工们博弈的结果。

薛兆丰老师说过，最好的策略是要别人不要996，自己却996。

什么意思呢？

因为员工和员工是竞争关系，老板和老板是竞争关系，员工和老板不竞争。

简单的说，老板一定会选择性价比最高的员工，对，就像你去超市购物，一定货比三家，选性价比最高的；而员工呢？一定会选择能力范围内待遇最好的老板。

双向选择！

如果一个普通程序员找老板要涨薪30%，老板会想：一颗普通的大白菜5毛钱，这个白菜也就那样，还要1块钱一颗，算了，不买了。

那如果所有的程序员集合起来，要求老板涨薪30%呢？

那可能出现这样的情况：

1，因为员工涨薪30%，所以成本上升，售价上升，被别的更便宜的公司踩下去，倒闭

2，老板一看，成本上升不赚钱了，算了，关门大吉

那如果全世界的程序员都要求涨薪30%呢？

必定会有大量的大学生选择读计算机，土木，机械，电子，财务拼了命转行，最后拉低平均收益。

超额收益是不可维持的。

因为所有的收益都一定是博弈后的结果。

那么，如何提高自己的收益呢？

看看你的周围，对的，决定你收益的不是老板，而是你身边的同事们。想获得更高的收益，必然需要更少的竞争者。

你需要做别人不敢做，不愿做，不能做的事情。

进得宅门，走得远路，才见微光。

总结：

读书的时候，我们觉得数学完全是用来折磨人的。成年了之后，才明白，数学是一种思维，有这种能力和没有这种能力的人，千差万别。

《教父》里有一句话，送给大家：

在一秒钟内看到本质的人和花半辈子也看不清一件事本质的人，自然是不一样的命运。